Costruzione Matrici di Stato (A, B)

1. Modelli di Trasferimento Risorse (Flussi)

Regola d'oro: Si legge la matrice A per COLONNE.

A. Caso Continuo (Serbatoi, Liquidi)

  • Fuori Diagonale (aji): Coefficienti dei flussi in ENTRATA (da nodo i a nodo j).
  • Sulla Diagonale (aii): - (SOMMA Uscite). Svuotamento totale del nodo verso altri nodi o verso l'esterno. Sempre negativo!
  • Matrice B: Coefficienti dei flussi che arrivano dall'esterno (Sorgenti).

B. Caso Discreto (Fabbriche, Fasi)

  • Fuori Diagonale (aji): Frazione/Percentuale di risorsa che si sposta (da i a j).
  • Sulla Diagonale (aii): 1 - (SOMMA Uscite). Frazione che RESTA ferma nel nodo al passo successivo. Quasi sempre positivo.
  • Matrice B: Ingressi esterni per ogni passo temporale.

Caso continuo di trasferimento di risorse

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} -0.1 & 0 & 0 & 0 \\ 0.1 & -0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0.2 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0.8 & 0 \\ 0 & -0.3 \\ 0.1 & 0 \\ 0.1 & -0.7 \end{pmatrix} \end{equation}

2. Modelli di transizione tra stati

Regola d'oro: La somma dei numeri in colonna deve dare 0

  • Logica: Modello che rappresenta la transizione o persistenza di uno stato ad un altro
  • Fuori Diagonale (aji): il nodo va verso quello stato di quel percentuale o valore
  • Sulla Diagonale (aii): % di oggetti che rimangono nello stato corrente
  • Regola di controllo: La somma degli elementi di ogni colonna deve fare esattamente 1.

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.1 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.4 & 0.9 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3 & 0.1 \end{pmatrix} \end{equation}

3. Modelli di Relazione (PageRank, Probabilità)

Corsa ai armamenti / Navigazione Web / Catene di Markov

  • Logica: Modello discreto basato sulle probabilità.
  • Fuori Diagonale (aji): Ho una freccia entrante allo stato j inserisci 1 / L sulla riga j (destinazione).
  • Sulla Diagonale (aii):Ho un self-loop di valore aii
  • Regola di controllo: La somma degli elementi di ogni colonna deve fare esattamente 1.
  • Matrice B: Non esiste (sistema chiuso). Si calcola l'equilibrio risolvendo (A - I)x = 0 con il vincolo somma(x) = 1.

\begin{equation} A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -0.4 & \\ 1 & -0.6 & \\ 0 & -0 & \end{pmatrix} \end{equation}

4. Modelli Fisici (Newton, Kirchhoff)

Regola d'oro: Si ricavano dalle leggi fisiche, isolando le derivate prime.

A. Sistemi Meccanici

  • Variabili di Stato: Posizione (x1) e Velocità (x2).
  • Legge: F = m·a (secondo principio).
  • Riga 1 Matrice A: Derivata della posizione è la velocità. La riga è [0, 1].
  • Riga 2 Matrice A: Isola l'accelerazione (dividi tutto per la massa m). Metti i coefficienti di molla (-k/m) e smorzatore (-b/m).
  • Matrice B: Forze esterne applicate (es. 1/m).

B. Sistemi Elettrici (RLC)

  • Variabili di Stato: Tensione condensatori (vC) e Corrente induttori (iL).
  • Legge: Nodi (KCL) e Maglie (KVL). Formule componenti: iC = C·v̇C e vL = L·i̇L.
  • Costruzione Matrice A: Sostituisci KVL/KCL nelle formule dei componenti. Dividi per C e per L per isolare le derivate pure.
  • Matrice B: Coefficienti moltiplicativi dei generatori di tensione (V) o corrente (I).