Bipoli Adinamici

Dall'approfondimento di bipoli resistivi senza memoria e casi estremi come il cortocircuito o circuito aperto, al concetto di generatore reale e alle regole dei partitori serie e parallelo.

Questa sezione illustra (Lezioni 7-8) i componenti il cui stato dipende solo dall'istante presente, e come interconnetterli.

Resistore Lineare e Non Lineare
Cortocircuito e Circuito Aperto
Generatori Reali
Connessione Serie e Partitore di Tensione
Connessione Parallelo e Partitore di Corrente

Resistore Lineare e Non Lineare

Un bipolo adinamico (o senza memoria) è caratterizzato da una relazione algebrica istantanea tra tensione e corrente $f(v,i,t) = 0$. Dicesi tempo-invariante se la funzione $f$ non dipende esplicitamente dal tempo.

Resistore Lineare: Soddisfa la Legge di Ohm ($v = Ri$). La caratteristica $v$-$i$ è una retta passante per l'origine, con pendenza $R$. Bipolo passivo, simmetrico e dissipativo.
Resistore Non Lineare: Relazione $v = f(i)$ non lineare (es. $v = k i^3$ o il Diodo ideale). La pendenza della caratteristica cambia a seconda del punto di lavoro.

Cortocircuito e Circuito Aperto

Sono casi limite di componenti fondamentali dell'analisi di rete.

Cortocircuito Ideale

Tensione identicamente nulla per qualsiasi valore di corrente.

$ v(t) = 0 \quad \forall i $

Corrisponde a un resistore con $R = 0$ oppure a un generatore ideale di tensione con $e = 0$.

Circuito Aperto Ideale

Corrente identicamente nulla per qualsiasi valore di tensione.

$ i(t) = 0 \quad \forall v $

Corrisponde a un resistore con $G = 0$ ($R \to \infty$) oppure a un generatore ideale di corrente con $j = 0$.

Generatori Reali

I generatori reali approssimano il comportamento delle batterie (dove all'aumentare della corrente erogata, la tensione ai morsetti decresce a causa delle perdite interne o caduta ohmica del sistema chimico).

Modello serie: un Generatore Ideale di Tensione (GIT) con in serie un resistore $R_i$ (resistenza interna).

$ v = E - R_i i $

Scritta con la convenzione del generatore. La tensione a vuoto è $E$. Con i cortocircuitato, $I_{cc} = E / R_i$.

Modello parallelo: un Generatore Ideale di Corrente (GIC) con in parallelo un resistore di conduttanza $G_i$.

$ i = J - G_i v $

Scritta con la convenzione del generatore. I due modelli sono equivalenti se si impone $R_i = 1/G_i$ ed $E = R_i J$.

Connessione Serie e Partitore di Tensione

Due o più bipoli sono in serie se attraversati ininterrottamente dalla stessa identica corrente in ogni istante (sono collegati lungo uno stesso ramo senza biforcazioni ai nodi).

      $ R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{k=1}^n R_k $
    

In una serie di resistori, la tensione totale $v$ si suddivide (si "partisce") in quota proporzionale al valore delle resistenze stesse. Questo comportamento dà luogo al Teorema del Partitore di Tensione:

$ v_k = \frac{R_k}{R_{eq}} v $

La tensione sul k-esimo resistore è pari alla tensione totale per la sua resistenza diviso la resistenza totale serie.

Connessione Parallelo e Partitore di Corrente

Due o più bipoli sono in parallelo se i loro terminali sono collegati direttamente alle stesse coppie di nodi, risultando quindi sottoposti alla medesima d.d.p. in ogni istante (per KVL).

      $ G_{eq} = G_1 + G_2 + \dots + G_n \implies \frac{1}{R_{eq}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k} $
    

In un parallelo di resistori, la corrente totale in ingresso $i$ si ripartisce in correnti di ramo che sono direttamente proporzionali alle conduttanze $G$, o analogamente, inversamente proporzionali alle resistenze. Da questo si deriva il Teorema del Partitore di Corrente:

$ i_k = \frac{G_k}{G_{eq}} i $

Usando la resistenza, in caso di solo due rami in parallelo $R_1$ ed $R_2$, la formula tipica è $ i_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} i $.

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